Um semigrupo numérico é um conjunto de números inteiros não negativos fechado para a soma e com complemento finito no conjunto de inteiros
não negativos. É portanto uma das estruturas matemáticas mais simples que podem ser estudadas.

Todo semigrupo numérico pode ser gerado por um conjunto finito de inteiros, isto é, todo elemento de um semigrupo numérico vai ser uma soma finita de elementos fixos no semigrupo numérico. Uma das motivações naturais do estudo inicial dos semigrupos foi descobrir quando um inteiro pertence a um semigrupo: quando esse inteiro é soma (com repetições) de elementos num conjunto de inteiros não negativos.
Um outro problema natural, conhecido como o Problema de Frobenius, é o de calcular o maior inteiro que não pertence a um semigrupo numérico dado. O estudo das representações distintas de um elemento em termos dos geradores do semigrupo é apenas um caso particular do estudo de factorizações de um elemento num monóide (ou num domínio de integridade), e é por isso que tem sido utilizado nos últimos anos como base para exemplos e contra exemplos na teoria das factorizações em monóides.

Mas o que realmente impulsionou o estudo dos semigrupos numéricos foram as valorações, que relacionam um anel associado a uma curva num semigrupo numérico. Algumas das propriedades da curva tinham tradução em termos do semigrupo numérico, o que proporciona uma maneira de
obter famílias de curvas com propriedades interessantes. Há outras formas de relacionar um semigrupo a uma curva, que foram utilizadas para calcular cotas para códigos correctores de erros algébricos, o que proporcionou um interesse maior no estudo de certas famílias de semigrupos numéricos.

Este curso tem previstas três palestras, brevemente descritas em baixo. A ideia é proporcionar uma introdução aos semigrupos numéricos, olhando para os elementos notáveis e famílias relevantes, e ao mesmo tempo mostrando problemas abertos e aplicações. Para facilitar o cálculo com semigrupos numéricos, no final de cada palestra mostraremos exemplos feitos com o pacote numericalsgps do GAP. Além disso, uma lista de referências bibliográficas será apresentada para mostrar linhas de investigação ligadas com cada uma das palestras.

Palestra 1

– Definições e propriedades básicas
– Elementos notáveis
– Semigrupos numéricos irredutíveis
– Semigrupos numéricos quase simétricos
– Introdução ao pacote numericalsgps

Palestra 2

– Apresentações
– Cálculo de apresentações: grafos e ideais de anel de polinômios
– Factorizações e apresentações
– Primalidade e divisibilidade
– Apresentações e invariantes de factorização no numericalsgps

Palestra 3

– Colagens de semigrupos numéricos
– Semigrupos numéricos interseção completa
– Função geratriz de um semigrupo numérico (função de Hilbert)
– Semigrupos numéricos ciclotómicos
– Colagens no numericalsgps

Bibliografía

J. C. Rosales y P. A. García-Sánchez, Numerical semigroups, Developments in Mathematics, vol. 20, Springer, New York, 2009

A. Assi, M. D’Anna, P. A. García-Sánchez, Numerical semigroups and applications, Second edition, RSME Springer series 3, Springer, Switzerland, 2020

M. Delgado, P. A. Garcia-Sanchez, and J. Morais, NumericalSgps, A package for numerical semigroups, Version 1.3.0 (2022), (Refereed GAP
package), https://gap-packages.github.io/numericalsgps